Meno Sučuraj dostala obec podľa kostola sv. Juraja z prvej polovice 14. storočia. Tunajšie osídlenie je však podstatne staršie – už pred 2300 rokmi tu žili Ilýri. Podľa niektorých prameňov tu mala svoj palác preslávená ilýrská kráľovná Teuta (v okolí sú pozostatky ilýrskych náhrobných pahorkov). Prvý Chorváti sem prišli v 7. storočí, ale hlavný príliv utečencov nastal až v 15. storočí a ďalších storočiach.
Najstaršia dochovaná stavba je františkánsky, pôvodne benediktínsky kláštor s kostolom sv. Juraja, mnohokrát prestavovaný. Barokový kostol sv. Antonína (Sv. Ante) pochádza zo 17. storočia, čiastočne zachovaná benátska pevnosť (Fortica) zo 17. storočia. V tej dobe bola proti tureckým a pirátskym nájazdom opevnená i obec.
V bezprostrednej blízkosti obce sú dve veľmi pekné pláže, a to na juhu pláž Česminica a na severe Bilina. Ale tým možnosti kúpania nekončia – najmalebnejšia pláž na juhu je Perna, na severe Mlaska, ku ktorej vedie zo Sučuraja cesta (4 km), ale aj ďalšie vzdialenejšie, na ktoré sa väčšinou jazdí člnom (bývajú veľmi málo navštevované).
Hodí sa na pokojnú dovolenku s prehliadkami ostrova a výletmi napr. na polostrov Pelješac.
